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Un aiuto (spero utile) per chi deve fare la seconda prova di matematica e fisica alla maturità del liceo scientifico

Quest’anno, come ogni anno, le ragazze e i ragazzi del liceo scientifico dovranno affrontare la temutissima seconda prova dell’esame di stato. Argomento: matematica e fisica; ovvero, un mix letale di esercizi di fisica che richiedono nozioni avanzate di matematica, e viceversa.

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Come funzionano le maree?

Le maree sono un meccanismo fisico che possiamo ritrovare in parecchi fenomeni in giro nell’universo: si va da ciò che accade a Mont Saint-Michel in Francia, fino ai buchi neri in giro nell’universo, passando per la formazione degli anelli di Saturno.

In questo post, oltre a capire come si formano le maree e come ritrovarle in giro per l’universo, cercheremo anche di capire con precisione che cosa succede alle maree sulla Terra, visto che in giro si trovano spiegazioni davvero poco chiare.

Prima di spiegare come funzionano le maree, facciamo un passo indietro e vediamo come sono spiegate in giro o sui libri.

La spiegazione più veloce per la formazione delle maree sulla Terra è la seguente: la forza gravitazionale della Luna tira l’acqua verso di sé e come risultato il livello dei mari si alza a intervalli regolari sulla Terra.
Ma questa spiegazione non basta, perché in realtà la domanda più importante è un’altra: perché le maree si formano da entrambi i lati della Terra, anche dal lato in cui la Luna non c’è?

Proviamo a rispondere a questa domanda in questo post. Per farlo, partiamo dalle robe che si possono trovare in giro, quando si tratta di spiegare come funzionano le maree.
Per esempio, è possibile trovare cose del genere:

Questa spiegazione non va bene (si trova qui)

Nel sito dove ho trovato quest’immagine c’è scritto che il rigonfiamento dal lato lunare è dovuto appunto alla Luna mentre l’altro rigonfiamento è invece dovuto all’inerzia.
All’inerzia? E che vuol dire? Cito, traducendo testualmente dal sito dove ho trovato l’immagine di sopra:
La gravità è la principale forza responsabile delle maree. L’inerzia agisce a controbilanciare la gravità. Essa è la tendenza degli oggetti dotati di una certa velocità di muoversi in linea retta. Insieme, gravità e inerzia sono responsabili della creazione dei due rigonfiamenti mareali sulla Terra (Ross, D.A. 1995)“.
 
Il libro a cui si fa riferimento è Introduction to Oceanography. Non sono riuscito a procurarmi una copia di tale libro, ma le cose sono due: o quelli del NOAA hanno inteso male, oppure sul libro ci deve essere un errore.
 
Ma andiamo con ordine e cerchiamo di fare chiarezza.

Che cos’è un sistema di riferimento in fisica?

Siccome siamo di fronte a un problema di fisica, dobbiamo scegliere un sistema di riferimento, cioè una specie di punto di vista, rispetto a cui studiare il problema. Guardiamo di nuovo l’immagine del NOAA: in quale sistema di riferimento siamo? Sembrerebbe un punto di vista esterno, di un osservatore che si trova nello spazio lontano sia dalla Terra sia dalla Luna. Beh, insomma, non è che sia chiarissimo e comunque non sembrerebbe essere specificato.

Facciamo innanzitutto un ripasso.
È possibile scegliere il sistema di riferimento che ci pare, ma in generale possiamo dire he esistono due tipi di sistemi di riferimento: quelli inerziali e quelli non inerziali.
 
Qual è la differenza tra i due tipi?
 
Se un corpo accelera in un sistema di riferimento inerziale allora possiamo spiegare l’accelerazione con una forza reale. Per esempio, se avete un bicchiere sul tavolo e lo spingete, allora il bicchiere cambia la sua velocità e l’ha fatto perché lo avete spinto voi: state guardando il fenomeno da un punto di vista inerziale.
Altro esempio: se siete su un treno che viaggia a velocità costante, senza sobbalzi (facciamo un caso ideale) e con le tende dei finestrini abbassate (o magari siete in galleria), allora siete in un sistema di riferimento inerziale; una persona in stazione e voi sul treno osservate esattamente gli stessi fenomeni nella stessa maniera e gli oggetti e le persone cambiano velocità perché agisce una forza su di essi.
 
In un sistema di riferimento non inerziale un corpo può accelerare anche se non a prima vista sembra non ci sia nessuna forza a farlo accelerare.
Torniamo all’esempio del treno. Immaginate che il treno faccia una curva, quindi acceleri o deceleri; se avete una bottiglietta d’acqua sul tavolino, essa inizierà a muoversi nella direzione opposta a quella della curva. Questo però accade senza che nessuno abbia spinto la bottiglietta: nessuna forza agisce sulla bottiglietta, quindi non stiamo studiando il fenomeno da un punto di vista inerziale.
In questo caso allora siamo in un sistema di riferimento non-inerziale.
 
Perché accade ciò? Per un osservatore che si trova fuori dal treno, per esempio in una stazione in cui transitate è tutto normale: il treno ha curvato e la bottiglia, siccome nessuna forza agisce su di essa, ha conservato la direzione del moto che aveva prima, ovvero un moto rettilineo. Tutto ciò si vede meglio nella figura di sotto, dove nella parte superiore c’è quello che osservate voi sul treno, nella parte di sotto c’è quello che accade per l’osservatore inerziale.

Vista da un sistema non-inerziale; 2. Vista da un sistema inerziale (Fonte: www.vias.org)

Ora, noi sul treno in qualche modo dobbiamo spiegarci perché la bottiglietta si muove: per farlo introduciamo, dal punto di vista delle equazioni matematiche che descrivono il moto della bottiglietta, delle forze apparenti: queste forze non esistono, come può confermare l’osservatore (inerziale) fermo in stazione, però saltano fuori matematicamente se si guardano le cose da un punto di vista non-inerziale.
E ora possiamo tornare a come funzionano le maree sulla Terra.

Il sistema Terra – Luna e il centro di massa

L’idea che tutti abbiamo del sistema Terra-Luna è l’idea di un sistema fisico in cui la Luna gira intorno alla Terra. Questa rappresentazione va bene, ma anche qui: che tipo di sistema di riferimento stiamo usando?
 
Decidiamo di vedere le cose da un punto di vista inerziale.
In questo caso, abbiamo che nel sistema Terra-Luna sia il centro della Terra sia il centro della Luna cadono attorno a un punto comune chiamato centro di massa del sistema. Il centro di massa esiste in tutti i sistemi fisici dove ci sono corpi dotati di massa è si tratta di una specie di punto medio del sistema che descrive come la massa è distribuita nelle varie componenti del sistema fisico in questione. Se volete, potete considerarlo come un punto di equilibrio del sistema.
Se non ci fosse la Luna, il centro di massa della Terra potremmo considerarlo in modo naturale al centro della Terra. Il fatto che ci sia anche la Luna sposta il centro di massa del sistema un po’ distante dal centro della Terra. Per esempio, nel disegno qui sotto si vede che siccome c’è anche la massa della Luna sulla destra, allora il centro di massa del sistema sarà spostato un po’ più a destra del centro della Terra. Questo perché quando consideriamo Terra e Luna insieme, allora la Luna con la sua massa sposta un po’ gli equilibri.

Ecco dove si trova il centro di massa del sistema Terra-Luna: la palla a sinistra è la Terra, il puntino a destra è la Luna (Fonte: http://www.vialattea.net)

Ora, possiamo fare una cosa furba (si fa per dire) per parlare delle maree: possiamo scegliere il centro di massa come origine del nostro sistema di riferimento.
In questo modo siamo in un sistema inerziale: il centro di massa non ruota attorno a niente, quindi non ci sono curve e bottiglie che si muovono senza motivo apparente.
 
Ora, sottolineo una cosa fondamentale: in questo sistema di riferimento, l’unica forza in gioco e la gravità. Che cosa accade alla Terra e alla Luna in questo sistema di riferimento del centro di massa? Accade che la Terra e la Luna cadono l’una sull’altra a causa della gravità. Questo cadersi addosso a vicenda risulta in un moto di entrambi i corpi, sia la Terra sia la Luna, attorno al centro di massa.

La Terra gira intorno al centro di massa (indicato con una croce rossa) in questo modo

Qui, la cosa da chiarire è che i punti della Terra non ruotano attorno al centro di massa del sistema Terra-Luna come in una giostra, dove si cambia continuamente l’orientazione; tutti i punti della Terra in questo caso descrivono una traiettoria circolare di raggio pari alla distanza del centro di massa dal centro della Terra, come mostrato nella GIF qui sotto che ripropongo. Questo vale per tutti i punti della Terra, i quali quindi ruotano attorno al centro di massa tutti sotto l’effetto della stessa accelerazione, quindi della stessa forza. In fisica, una forza che fa ruotare un corpo attorno a qualcosa si chiama anche forza centripeta. L’appellativo forza centripeta in fisica è come la parola dottore nel mondo degli esseri umani: per esempio, si può dire dottore Tizio. La parola dottore da sola non si riferisce a nessun nome, ma in questo contesto si riferisce a Tizio che svolge il ruolo di dottore. La stessa cosa vale nel linguaggio della fisica per la forza centripeta: una qualsiasi forza può svolgere il ruolo di forza centripeta. Per esempio, nel nostro caso, il ruolo di forza centripeta è svolto dalla forza di gravità tra la Terra e la Luna, l’unica forza presente nel sistema. Questo vuol dire che la forza centripeta che fa girare la Terra attorno al centro di massa è esattamente pari alla forza di gravità (dovuta alla Luna) che si sente nel centro di massa.

Ora, ho speso parecchie parole su questa parte perché, per qualche motivo a me ignoto, spesso quando si ha a che fare con le maree si tira in ballo la forza centrifuga. E si sbaglia. La forza centrifuga è una forza apparente: non esiste, la usiamo solo nei sistemi non inerziali per spiegare, per esempio, perché le bottigliette si muovono o eventi simili in sistemi non inerziali. Sarete d’accordo che non possiamo spiegare con una forza che non esiste un effetto che invece è reale!

Infatti noi abbiamo detto di voler usare il sistema del centro di massa di Terra e Luna, che è un sistema di riferimento inerziale…quindi, per favore, lasciate perdere la forza centrifuga: non ci serve!

Per concludere questa panoramica sul sistema Terra – Luna, sottolineo ancora una cosa: la forza di gravità con cui la Terra tira la Luna è esattamente la stessa forza con cui la Luna tira la Terra. Questo fatto vale sempre, per tutti i corpi.


E ora spieghiamo finalmente come si formano le maree

Dunque, ricapitoliamo: abbiamo scelto come sistema di riferimento quello solidale con il centro di massa del sistema Terra-Luna e l’unica forza che abbiamo in questo sistema è la forza di gravità esercitata tra la Terra e la Luna.

Le maree sulla Terra sono causate dalla presenza della Luna. Vediamo che cosa accade mentre guardiamo le cose dal nostro riferimento inerziale: ci sono due fatti importanti, come abbiamo già visto, ma che ripetiamo.

Partiamo dal fatto principale, la gravità della Luna: il nostro satellite naturale esercita sulla Terra una forza gravitazionale (e viceversa). I punti della Terra più vicini alla Luna sono soggetti a una gravità più forte di quelli più lontani. Su questo mi pare possiamo essere tutti d’accordo.

L’altro fatto importante è che la gravità tiene continuamente in moto sia la Terra sia la Luna attorno al centro di massa, cioè tiene entrambi i corpi in orbita tra loro; come abbiamo visto nella GIF sopra, tutti i punti della Terra compiono orbite circolari uguali mentre cadono sul centro di massa. La forza centripeta causa di questi moti circolari è appunto la forza di gravità dovuta alla Luna; questa forza è uguale per tutti i punti della Terra ed è diretta verso la Luna.

A questo punto possiamo spiegare le maree da entrambi i lati.

Lato A: il lato che guarda alla Luna

Sul lato che guarda la Luna, la forza dovuta alla vicinanza della Luna è maggiore della forza con cui la Terra cade sul centro di massa. Questo eccesso porta alle maree su questo lato: il livello dei mari si alza in direzione della Luna.

Lato B: il lato opposto alla Luna

Sul lato opposto, quello che non guarda la Luna, la forza dovuta alla distanza dalla Luna è minore della forza con cui la Terra cade sul centro di massa. In questo caso abbiamo un difetto. Questa differenza negativa porta alle maree anche su questo lato: il livello dei mari si alza in direzione opposta a quella dove si trova la Luna.

Con i disegni e le frecce si vede meglio tutto quello che ho detto: le frecce rosse nel disegno qui sotto rappresentano la differenza tra i due effetti della gravità.

Tutto questo discorso sembra molto complicato, ma in realtà si basa su fatto fondamentale: la Terra è un oggetto che ha delle dimensioni considerevoli se paragonate alla distanza dalla Luna. Infatti, se la Terra fosse stata, per assurdo, un oggetto piccolissimo situato tutto nel centro di massa, non avremmo avuto le maree: in quel caso le frecce verdi sarebbero state lunghe come le frecce arancio. Lo stesso vale se confrontiamo le dimensioni della Terra con la distanza dal Sole: la Terra è praticamente un puntino piccolissimo e le differenze che generano le forze di marea sono praticamente trascurabili.

Per questo motivo il principale contributo alle maree viene dalla Luna anziché dal Sole (anche se un piccolo contributo anche da parte del Sole esiste).

Le maree e la faccia della Luna

Questo vuol dire che, in sostanza, le maree ci sono ogni qual volta due oggetti sono abbastanza vicini da non poterne trascurare le dimensioni.

Infatti, il Sole è di gran lunga più massivo della Luna ed esercita una forza di gravità molto più importante. Però è molto più lontano. Nel caso del Sole, la differenza tra frecce verdi e arancio è trascurabile rispetto alla stessa differenza causata dalla vicinanza della Luna.

Naturalmente, anche sulla Luna vale lo stesso discorso delle forze di marea, stavolta causate dalla Terra. Uno degli effetti delle forze mareali causate dalla Terra sulla Luna è il cosiddetto tidal locking, il fenomeno per cui la rotazione della Luna su se stessa dura esattamente come la rivoluzione della Luna attorno alla Terra.

Mentre la Luna ruota su se stessa sente le forze mareali della Terra ed è tirata continuamente: alla fine dopo molti anni mostrerà sempre la stessa faccia a noi.

Il tidal locking tra un pianeta e un satellite avviene nel corso di parecchi anni; per esempio, nel sistema Terra-Luna, una conseguenza di questo sincronismo tra rotazione e rivoluzione della Luna è che vediamo sempre la stessa faccia della Luna. Un altro esempio celebre di tidal locking nel sistema solare è quello tra Plutone e Caronte.

Le maree e gli anelli dei pianeti

Le forze di marea sono importanti anche per quanto riguarda la formazione degli anelli planetari, per esempio gli anelli di Saturno.

Gli anelli di Saturno visti da lontano sembrano una pista di ciclismo indoor, ma in realtà si tratta di tantissime piccole palle di ghiaccio.

Gli anelli infatti sono il residuo di corpi celesti che si sono avvicinati troppo a un pianeta e che poi si sono disgregati sotto l’effetto delle forze di marea. La zona definita “troppo vicino” ha un nome ben preciso: si chiama limite di Roche. Per calcolare la distanza dal pianeta a cui si ha il limite di Roche bisogna conoscere le dimensioni e la densità del pianeta oltre che la densità del satellite.

La spaghettificazione su un buco nero

Un altro evento interessante, sempre dovuto alle forze di marea, è la spaghettificazione che può avvenire nei pressi di un buco nero.

Un buco nero è un oggetto astrofisico con un campo gravitazionale davvero molto intenso. Immaginate un ipotetico astronauta che salta su un buco nero: le forze mareali sarebbero così intense che la gravità che il buco nero esercita sui piedi dell’astronauta è molto maggiore della gravità esercitata sulla testa. Questo provocherebbe uno stiramento del corpo dell’astronauta, fino a farlo diventare uno spaghetto, da cui il nome del fenomeno.

Rappresentazione artistica di ciò che potrebbe accadere a un povero astronauta che si avvicina troppo a un buco nero.

Naturalmente nessun astronauta è stato usato impropriamente per questa ricerca di fisica teorica: si tratta di un fenomeno studiato con carta, penna e computer, visto che non ci siamo mai avvicinati di persona a un buco nero.

Ma la spaghettificazione vale per qualsiasi oggetto, ovviamente, non c’è bisogno di inviare astronauti per spaghettificarli

Conclusioni

In questo post, abbastanza lunghetto, abbiamo visto come si formano le maree. Ho cercato di spiegare questo fenomeno in modo coerente e senza introdurre concetti inutili (tipo la forza centrifuga). La lunghezza di questo post è, secondo me, la vera spiegazione del perché è difficile trovare una spiegazione adatta sui libri o a scuola. Bisogna spendere un po’ di tempo per capire che cosa succede con le maree; tuttavia, lo spettro di fenomeni che si riescono a capire una volta compreso il meccanismo è ampio e permette di capire molte cose su come funziona l’universo.

[VIDEO] Misurare la velocità della luce con della cioccolata in un forno a microonde

Nuovo video sul canale di Quantizzando, come misurare la velocità della luce mettendo un po’ di cioccolata in un forno a microonde. Un esperimento bellissimo.

L’eco dei buchi neri

Prima o poi dovevamo farlo, dovevamo parlare un po’ dei buchi neri anche su Quantizzando. Anche perché la “Q” del logo del blog dovrebbe far pensare proprio alla struttura di un buco nero.

In passato, a dire il vero, un po’ ne abbiamo già parlato qui e qua, per esempio, ma vale la pena ricominciare con calma e provare anche ad andare oltre.

Che cosa sono i buchi neri?

Una stella funziona così: schiacciata dal suo stesso peso, nelle regioni centrali della stella le temperature si alzano, la densità aumenta e si hanno le condizioni per l’innesco delle reazioni di fusione nucleare con cui nuclei di idrogeno si trasformano in nuclei di elio. Quando l’idrogeno finisce, parte il collasso. Beh, in realtà possono succedere diverse cose a seconda della massa iniziale della stella. Una stella tipo il Sole espellerà gli strati esterni e rimarrà soltanto una palla (chiamata nana bianca) di carbonio e ossigeno che si auto-sostiene. Se la massa iniziale è almeno 8 volte quella del Sole, allora la stella collassa ed esplode e quello che resta è una stella di neutroni: cioè il collasso di arresta quando tutti i neutroni si ammassano in una piccola palla di circa 10 km di diametro.

Quando però la stella ha una massa iniziale molto più grande, tipo più di 40 volte la massa del Sole, allora non c’è neutrone che tenga: il collasso continua senza che possa essere fermato. Questo vuol dire concentrare una massa molto grande in uno spazio molto piccolo, generando una regione con una densità enorme. In questa situazione siamo di fronte a una condizione in cui si genera un oggetto con densità infinita in un un punto, una cosa così difficile da immaginare che viene chiamata tecnicamente singolarità. Eccoci, siamo proprio di fronte a un buco nero.

Per fortuna la teoria della relatività generale ci viene in aiuto e fornisce gli strumenti per descrivere anche una roba del genere.

Un buco nero e due punti di vista

La teoria della relatività dice questo: osservatori in differenti sistemi di riferimento possono misurare intervalli spaziali e temporali che dipendono dal sistema in cui si trovano. Perché questo? Perché tutti gli osservatori vedono la luce muoversi alla stessa velocità nel vuoto, 300 mila km/s.

In generale, la velocità (anche quella della luce) si calcola con un’operazione di divisione: intervallo di spazio percorso diviso intervallo di tempo impiegato. Se una velocità è uguale per tutti gli osservatori, allora il risultato di questa divisione non cambia mai cambiando osservatore. Quindi, per forza di cose, cambiando osservatore, se cambia l’intervallo di spazio percorso, allora deve cambiare anche l’intervallo di tempo impiegato. Cioè le misure di spazio e tempo sono relative per ogni osservatore.

In sostanza, ciò vuol dire che due diversi osservatori possono avere righelli che misurano distanze spaziali differenti e orologi che misurano intervalli di tempo diversi.

Gli effetti della relatività sono sempre presenti: tuttavia, diventano importanti solo quando abbiamo a che fare con velocità molto prossime a quelle della luce. Siccome la luce si muove a 300 mila km/s, andare a 120 km/h in autostrada non vi farà vedere robe relativistiche.

Un’alternativa potrebbe essere quella di mettersi in un campo gravitazionale molto intenso. Infatti, in un qualsiasi campo gravitazionale i corpi cadono. E mentre cadono acquistano velocità. Più è intenso un campo gravitazionale, più sarà alta la velocità acquistata da un corpo. Per questo possiamo pensare che gli effetti relativistici possono diventare evidenti non solo per velocità molto alte ma anche in campi gravitazionali forti. Per dare un esempio quotidiano, pensate ai satelliti GPS. Siccome si trovano a circa 20 km di altitudine, quindi sentono un campo gravitazionale un poco più debole di quello che sentiamo noi sulla superficie terrestre. Sebbene piccolo, l’effetto relativistico dunque c’è e si traduce in un ritardo di qualche microsecondo tra gli orologi a bordo dei satelliti e quelli nostri a Terra.

Nel caso di un buco nero, il fatto di essere una regione con un campo gravitazionale molto, ma molto intenso, comporta anche spingere la teoria della relatività generale alle sue conseguenze più estreme, in termini di osservazione e misura degli intervalli spaziali e temporali.

Facciamo un esempio. Io e Paola siamo vicini a un buco nero. A un certo punto Paola capisce che ha l’occasione della vita e con un calcio (e con un ironico segno della mano che non sto a riportare in questa sede) mi spedisce verso il buco nero.

Lei pensa di essersi liberata di me, e in un certo senso ha pure ragione. Tuttavia, la relatività generale ci dice che dal suo sistema di riferimento (cioè, essenzialmente dal suo punto di vista della situazione fisica) lei vedrà avvicinarmi al buco nero senza però mai davvero raggiungerlo sul serio. Praticamente una punizione scientifica per il suo cattivissimo comportamento (sempre che Paola abbia sensi di colpa, si capisce).

Dal mio punto di vista, invece, le cose vanno come devono andare: mi avvicino al buco nero e ciaone.

L’orizzonte degli eventi

Dal punto di vista matematico questa situazione è descritta tramite una superficie che rappresenta una specie di confine molto importante quando si vuole descrivere un buco nero: l’orizzonte degli eventi.

Questo orizzonte delimita in qualche modo le regioni di comunicabilità tra me e Paola. In pratica avviene questo: in realtà Paola vede che mi avvicino all’orizzonte degli eventi del buco nero, senza mai oltrepassare tale orizzonte. Io invece vado diritto, oltrepasso l’orizzonte degli eventi senza troppi problemi. Cioè, insomma: una volta arrivato a ridosso della singolarità del buco nero, le forze di marea sono tremende a causa del fortissimo campo gravitazionale. Cioè, immaginiamo che io stia cadendo sul buco nero di testa. Allora la gravità che sente la mia testa, siccome questa è più vicina al buco nero, sarà molto diversa della gravità che sentono i miei piedi, che sono più lontani.

SpaghettificationL’effetto finale è simile a quello delle maree che avvengono sulla Terra. E quindi il mio corpo verrà stirato, anzi spaghettificato come si dice in gergo. Non proprio uno spettacolo bellissimo, va detto.

Ma torniamo a noi. Il punto non è l’attraversamento dell’orizzonte in sé, quanto il significato fisico della questione. Se si prendono le equazioni della relatività, si scopre che dal punto di vista di Paola qualcosa di strano sembra accadere proprio nei punti corrispondenti all’orizzonte degli eventi. Se però si cambia sistema di riferimento, ta-daaa, i problemi non ci sono più; ciò vuol dire che l’orizzonte degli eventi è una superficie che è interessante davvero, ma per cui non accade nulla di particolare visto che si può scegliere un sistema di riferimento (quello mio che vado ignaro verso il buco nero, per esempio) in cui neanche mi accorgo di passare tale orizzonte.

Quindi, ciò che accade è che Paola mi vede andare verso l’orizzonte degli eventi senza però mai raggiungerlo: questo lo si legge dalle equazioni che governano la situazione di Paola, per la quale l’orizzonte degli eventi è un punto interessante.

Per quanto riguarda il mio punto di vista, invece, attraverso l’orizzonte degli eventi: però, una volta attraversato, non riesco più a comunicare con Paola. Infatti, una volta oltre l’orizzonte degli eventi mi trovo in una situazione che Paola non vedrà mai dal suo punto di vista (perché lei mi vedrà avvicinare l’orizzonte senza oltrepassarlo).

Quindi, in questa situazione si può capire che i due mondi, dentro e fuori l’orizzonte, non comunicano. Di solito, questo fatto viene raccontato così: si dice che un buco nero ha una gravità così forte che neanche la luce può uscirne. Giusto, è proprio così: un raggio di luce che parte dentro l’orizzonte degli eventi non raggiungerà mai un osservatrice, come Paola, al di fuori dell’orizzonte degli eventi. E viceversa.

Il punto di vista quantistico

Quindi abbiamo capito cosa succede a qualcosa che cade in buco nero? Siamo a posto?

Ma neanche per sogno.

A complicare le cose ci pensa la meccanica quantistica. Perché, direte voi? Perché la meccanica quantistica dice una cosa tanto bella quanto assurda. Cioè che esiste un principio, chiamato principio di indeterminazione, per il quale non possiamo conoscere con la precisione che ci pare, contemporaneamente, le misure dell’energia di uno stato fisico e dell’intervallo di tempo in cui quello stato si trova a una certa energia. Quindi ciò vuol dire che, anche nel vuoto, si potrebbe creare per un brevissimo intervallo di tempo una certa quantità di energia. E siccome, lo dice la relatività energia uguale a massa, allora da questa energia che viene a generarsi può crearsi una coppia di particelle.

Wow, addirittura si crea energia dal vuoto! Attenzione a non entusiasmarsi troppo: queste coppie di particelle hanno una vita brevissima.

Ma nei pressi dell’orizzonte degli eventi di un buco nero, magari può capitare che il campo gravitazionale del buco nero entri in gioco e riesca a dividere la coppia: una particella scappa via e uno cade nel buco nero. Questa perdita di energia che man mano avviene, comporta una progressiva perdita di massa del buco nero. Tale fenomeno è chiamato meccanismo di evaporazione di Hawking e non è ancora mai stato osservato. A seguito di questo meccanismo i buchi neri evaporano e scompaiono. Puff!

Qui arriva il paradosso

A questo punto parte lo scontro frontale tra relatività generale e meccanica quantistica. Se infatti secondo la relatività l’orizzonte degli eventi è una regione come un’altra e può essere attraversata senza problemi, d’altra parte per la meccanica quantistica l’orizzonte degli eventi svolge un ruolo fondamentale nel processo di evaporazione. In particolare, secondo la meccanica quantistica nessuna informazione può andare persa.

Infatti, l’evaporazione di un buco nero crea proprio un problema in questa direzione: se un oggetto finisce prima in un buco nero e poi tutto evapora, dove finisce l’informazione iniziale riguardo all’oggetto caduto nel buco nero?

Ecco, questo è un dilemma enorme. Un dilemma che mette alla prova sia la meccanica quantistica che la relatività. Ma qua non si tratta di capire quale sia la teoria giusta; qui si tratta di capire come conciliare le due teorie, possibilmente tirando fuori una nuova teoria in grado di spiegare meglio le cose. 

Non è una cosa facilissima, ecco. Non solo: nessuno ha capito realmente come stanno le cose.

Questione di feeling

Per provare a capirci qualcosa, dobbiamo riformulare il problema. In meccanica quantistica le cose sono un po’ diverse dalla fisica classica. Per capirlo seguiremo il bel ragionamento fatto dal fisico John Preskill nel 2012 che è tipo il seguente.

Supponiamo di avere a che fare con la fisica classica e che le informazioni di cui tanto stiamo parlando siano in un giornale.

Un giornale classico può essere letto in un unico modo possibile. Io e Paola, sempre noi, abbiamo due copie dello stesso giornale; in questo modo, io e Paola siamo correlati perché abbiamo accesso alle stesse informazioni. Una terza persona può comprare una copia del giornale e avere accesso alle informazioni. Il fatto che io e Paola siamo correlati non evita che la terza persona abbia accesso alle informazioni presenti nel giornale.

Passiamo ora alla fisica quantistica. Un giornale quantistico può essere letto in più modi. Per esempio può essere letto diritto o capovolto oppure in altri modi. Supponiamo che io e Paola leggiamo lo stesso giornale orientato nel medesimo modo. I nostri stati fisici sono fortemente correlati. Secondo la meccanica quantistica, una terza persona può provare di nuovo a mettersi in mezzo tra me e Paola, ma non può essere alla stessa maniera fortemente correlata né con me né con Paola. Questo perchè, siccome il giornale si può leggere in tanti modi diversi, allora ci sarà sempre una modo di correlarsi più forte di un altro.

Cosa vuol dire tutto ciò? Supponiamo che un buco nero sia fortemente correlato con Paola, che è l’osservatore oltre l’orizzonte degli eventi. Quando il buco nero evapora, la radiazione di Hawking che si forma, proprio come il buco nero da cui si origina, è allo stesso modo fortemente correlata con Paola.

Io invece mi trovo dentro l’orizzonte. Come abbiamo detto prima, la radiazione di Hawking si origina da una coppia di particelle, di cui una fugge verso l’esterno, mentre l’altra cade nel buco nero. Quindi le particelle della radiazione di Hawking sono anche correlate con ciò che c’è dentro l’orizzonte degli eventi, dove ci sono io come osservatore.

Quindi, in sostanza, abbiamo un sistema fisico (la radiazione di Hawking) che è correlato fortemente con due sistemi fisici. E questa cosa, lo abbiamo detto, è in contrasto con la meccanica quantistica. Come si fa?

Orizzonti infuocati

Ci sono alcune soluzioni possibili al dilemma. Una è chiamata complementarità dei buchi neri. Secondo questa soluzione, proposta dal fisico Leonard Susskind nel 1993 insieme ad alcuni suoi colleghi, tutto va bene finché Paola e io non comunichiamo tra noi. Cioè, se io dentro l’orizzonte misuro qualcosa ma non posso dirlo a Paola, allora nessun problema.

La relatività supporta tutto ciò, lo abbiamo detto in apertura di post, quindi io e Paola non possiamo comunicare secondo la teoria di Einstein. Insomma, secondo la complementarità, un osservatore non può osservare contemporaneamente pezzi di informazione dentro e fuori l’orizzonte e questo dovrebbe salvare tutto in termini di correlazioni quantistiche.

Ma magari fosse finita. La complementarità, infatti, si basa su alcune ipotesi essenziali:

  1. La meccanica quantistica ci dice che l’informazione non può essere persa (ipotesi di unitarietà).
  2. Lontano dal buco nero non abbiamo effetti relativistici o quantistici importanti.
  3. La relatività ci dice che a un osservatore in caduta verso un buco nero non accade nulla quando attraversa l’orizzonte degli eventi (questa ipotesi è anche chiamata No Drama).

I fisici Joseph Polchinski, Ahmed Almheiri, Donald Marolf e James Sully hanno trovato che queste tre ipotesi non possono valere tutte e tre insieme. E spiegano tutto in questo loro articolo scientifico, di cui riporto l’eloquente abstract.

“Forse l’opzione più conservativa è che l’osservatore che cade (verso un buco nero, ndr) bruci all’orizzonte”. C’è scritto proprio così.

 

Senza addentrarci nei dettagli, che sono poi una roba che richiede un sacco di concetti preliminari, l’articolo di Polchinski e gli altri afferma che la soluzione più semplice è proprio rinunciare all’ipotesi 3.

A questo punto, dopo che Paola mi dà un calcio verso il buco nero, in realtà non attraverso indenne l’orizzonte ma mi imbatto in un muro di fuoco (firewall) in cui brucio senza pietà, a causa del mare di particelle molto energetiche che emergono dall’orizzonte degli eventi.

Barbecue o informazione?

Ci troviamo di fronte a un problema bello tosto. Non solo per gli argomenti, ma anche perché sembra di essere di fronte a una scelta scientifica: chi ha ragione tra meccanica quantistica e relatività? L’ipotesi del firewall all’orizzonte degli eventi fa a meno dell’ipotesi No Drama, quindi assume che la relatività sia da ripensare per la descrizione dei buchi neri, magari introducendo effetti quantistici.

Ma tra i fisici il dibattito è acceso: non è mica detto che la soluzione giusta sia quella del firewall, magari potrebbe essere che è da rivedere l’ipotesi di unitarietà, anche se poi bisognerebbe ripensare a tutta la meccanica quantistica (e purtroppo qua non si tratterebbe di inserire effetti relativistici). Vattelapesca, per ora almeno.

Sono un’onda gravitazionale e risolvo problemi

Insomma, non sappiamo che pesci prendere, soprattutto perché il lavoro svolto finora è completamente teorico. Sarebbe ottimo trovare una possibile osservazione di un qualche effetto tangibile di un eventuale firewall.

Incredibile ma vero, le onde gravitazionali potrebbero essere un modo per capirci qualcosa. A quanto pare potrebbe essere un effetto previsto dalla relatività ad avere il potenziale giusto per dirimere la questione. Almeno in principio.

Infatti, un buco nero con un firewall potrebbe, potenzialmente, riflettere le onde gravitazionali, proprio come una parete rocciosa riflette un’onda sonora.

Praticamente, un firewall potrebbe produrre l’eco di un buco nero. Questo accadrebbe durante una collisione tra due buchi neri, per esempio. L’orizzonte degli eventi, formato da un firewall, dovrebbe riflettere le onde gravitazionali che arriverebbero a noi sotto forma di segnali man mano decrescenti in ampiezza. Esattamente come un’eco sonora.

Ma come stiamo messi a dati? Per esempio LIGO ha osservato segnali di questa eco?

Nel dicembre 2016, Jahed Abedi, Hannah Dykaar e Niayesh Afshordi hanno pubblicato questo articolo scientifico in cui affermano proprio di aver osservato l’eco dei buchi neri tra i dati di LIGO, anche se con un livello di significatività molto basso: circa 2,5 sigma (cioè se l’eco dei buchi neri non esistesse, la probabilità di misurare quel segnale sarebbe 1 su 81; cioè una misura poco significativa per gli standard della scienza per cui ci vogliono almeno 5 sigma per iniziare a ragionare).

Subito dopo, alcuni membri della collaborazione LIGO hanno scritto un articolo scientifico, che in realtà è una risposta all’articolo di Abedi, Dykaar e Afshordi in cui fanno notare che l’analisi di questi ultimi soffriva di qualche piccolo problema e che probabilmente andava rifatta per bene per capire meglio la faccenda.

Infatti, un anno dopo nel dicembre 2017, un nuovo articolo scientifico scritto da membri di LIGO, in cui è stata rifatta l’analisi dei dati, ha certificato che i risultati di Abedi, Dykaar e Afshordi non rappresentavano un’evidenza significativa dell’osservazione dei buchi neri. E niente, insomma.

Ma Abedi e Afshordi non hanno mollato l’osso. E nel marzo 2018 ha pubblicato un nuovo articolo in cui affermano di aver misurato l’eco delle onde gravitazionali, stavolta da GW170817, il segnale della collisione delle due stelle di neutroni con l’eco dovuta alla struttura quantistica di buco nero formato a seguito della collisione (roba grossa insomma). La novità, oltre alla misura dell’eco in un evento differente, è che stavolta Adebi e Afshordi riportano una significatività di 4,2 sigma (cioè se l’eco dei buchi neri non esistesse, la probabilità di misurare quel segnale sarebbe 1 su 15 000 circa).

Per quello che ho potuto trovare in giro, finora un articolo soltanto ha citato l’articolo di Adebi e Afshordi. L’articolo l’hanno scritto Paolo Pani e Valeria Ferrari, scienziati dell’INFN di Roma; Pani e Ferrari calcolano come il segnale possa essere anche associato a modelli di oggetti astrofisici la cui materia si presenta in condizioni abbastanza particolari, e non necessariamente agli effetti quantistici di un firewall di un orizzonte degli eventi.

Ora che si fa?

Beh, ora si aspettano i nuovi dati di LIGO e Virgo.

Se nuovi studi dovessero non solo trovare segni di eco gravitazionali ma anche ottenere significatività più alta, allora potremmo davvero essere di fronte a un momento di svolta per la ricerca in fisica teorica.

Sarebbe qualcosa di clamoroso.

Nel caso la misura dell’eco dei buchi neri dovesse essere confermata allora si dovranno cambiare un po’ di cose dal punto di vista teorico e magari riusciremo davvero a fare un passo in avanti verso una teoria più completa che possa mettere insieme meccanica quantistica e relatività. Magari scopriremo che non ci sono orizzonti di buchi neri pronti a bruciare tutto ma che magari dietro tutto ciò si nasconde una teoria che sarà in grado di rivelarci molto di più sui buchi neri e sugli effetti quantistici quando si ha a che fare con campi gravitazionali molto intensi.

Per quanto mi riguarda, su questo blog proverò a tenervi aggiornati in caso di nuove notizie.

Del resto, questo blog si chiama Quantizzando non a caso.

Perché bisogna stare lontani dagli alberi durante un temporale?

Una cosa che sanno tutti, ma proprio tutti, è che durante un temporale bisogna assolutamente evitare di mettersi sotto un albero. Giusto, tutto esatto: ma sapete perché?

Ecco, qua a questo punto solitamente si sente di tutto come risposta. Provate anche voi a fare un mini-sondaggio, magari a casa, prima di leggere in questo post il motivo per cui gli alberi non sono un’opzione felice in caso di maltempo.
Fatto? Bene, allora ora proverò a rispondere dandovi la motivazione giusta.

Tutto parte dal concetto di conduttore. No, non Paolo Bonolis o Pippo Baudo, sto parlando di conduttore elettrico. Per capire bene la faccenda dobbiamo capire come sono fatti gli atomi. Un atomo è una particella che ha un nucleo formato da cariche positive (protoni) e neutre (neutroni) e un certo numero di cariche negative (elettroni) che ronzano attorno al nucleo in una maniera che dipende dall’energia che hanno gli elettroni stessi. Ora, può darsi che in un materiale, cioè in un pezzo di materia fatto da moltissimi atomi tutti uguali, gli elettroni siano non solo liberi di ronzare intorno al nucleo del proprio atomo, ma siano anche liberi di ronzare in tutto il pezzo di materia.
I materiali in cui gli elettroni godono di tutta questa libertà si chiamano conduttori (e invece quelli che non hanno questa caratteristica si chiamano isolanti).

Ma non solo: un’altra proprietà dei conduttori è che le cariche si dispongono sempre in maniera tale da essere tutte più lontano possibile tra loro. Questa cosa non deve soprendere: se abbiamo una vagonata di elettroni, tutte cariche negative, ecco che essi cercano di stare il più possibile lontano gli uni dagli altri a causa della repulsione elettrica.
E inoltre, questa disposizione degli elettroni è anche tale che il potenziale elettrico sulla superficie di un conduttore sia lo stesso su tutti i punti della superficie. Anche questa non è una sorpresa: se vi fosse una differenza di potenziale, allora le cariche inizierebbero a muoversi proprio a causa di tale differenza di potenziale (che poi sarebbe ciò che accade in un circuito elettrico dove c’è un generatore, tipo una pila).

Detto questo, passiamo all’ultima cosa: come è fatto il campo elettrico di un conduttore? Dipende da come è fatto un conduttore. Infatti, il campo elettrico di un conduttore è direttamente proporzionale alla densità di carica del conduttore stesso. La densità di carica non è altro che la quantità di carica per unità di superficie. Per esempio, se abbiamo 100 elettroni e 10 metri quadri di superficie, allora la densità di carica sarà 10 elettroni per metro quadro e così via. Da qui si può capire che, a parità di carica, è la grandezza della superficie che gioca un ruolo determinante.

Per esempio immaginiamo di avere due conduttori a forma di sfera, in particolare una sfera piccola e una grande. Poi mettiamo a contatto le due sfere: quello che accade è che la carica si distribuisce in modo da avere lo stesso potenziale elettrico sulle due sfere. E la densità di carica come sarà su ciascuna sfera? Per capirlo, dobbiamo capire come è fatto il potenziale.

Sulla superficie di un conduttore sferico, il potenziale è proporzionale sia alla densità di carica che al raggio della sfera. Quindi, se di sfere ne abbiamo due, e il potenziale è lo stesso per entrambe, allora la densità di carica deve essere maggiore sulla sfera con raggio minore. Questo è tutto il succo.
Ciò ci porta automaticamente alla conclusione che sulla sfera più piccola, visto che la densità di carica è maggiore e per quanto tempo finora, il campo elettrico sarà più intenso.

Certo, gli alberi non sono sferici. Però il discorso fatto finora si può applicare proprio in prossimità delle punte, dove si può ragionare in termini di raggio di curvatura. Praticamente si tratta dello stesso discorso di quando approssimiamo lo studio di una strada in curva come se fosse un pezzo di circonferenza.

Perciò, durante un temporale, la scarica di cariche elettriche di un fulmine, partendo dalle nuvole, andrà a beccare proprio quelle regioni sulla Terra su cui il campo elettrico è più intenso. Le quali, per quello che abbiamo appena detto, sono proprio causate dagli oggetti con raggio di curvatura piccolo (o se volete, con curvatura maggiore), ovvero oggetti a punta.
E infatti, guardate un po’, questa storia si chiama proprio effetto punta.
(Se volete sapere come funziona un fulmine, niente paura, ho già raccontato tutto su Quantizzando qualche tempo fa).

Insomma, se vi trovate nel bel mezzo di un temporale, è inutile e anche pericoloso cercare riparo sotto un albero. Molto meglio restare in auto, come insegna il buon Faraday.

E poi non dite che la fisica non serve a niente, eh.

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