Fotoni in orario

Oggi parleremo del viaggio di un fotone.
Un fotone è un’onda elettromagnetica. Forse dovrei dire “anche”, visto che può essere considerato una particella. Ma va bene non ci perdiamo in dettagli.
Comunque sia stiamo parlando di luce e su questo dovremmo essere abbastanza d’accordo.
Ora, non per fare il puntiglioso, ma volevo solo ricordarvi che la luce viaggia alla velocità della luce. Nel vuoto.
Cosa accade se la luce viaggia “in qualcosa”? Ad esempio nell’aria? O nell’acqua? O se passa dall’aria all’acqua?
Bene, queste sono le domande a cui ci piacerebbe rispondere senza utilizzare formule (!).
Per farlo dobbiamo però pur partire da qualche assunzione, da qualche punto fermo. Iniziamo con il dire che considereremo la luce come composta da raggi, cioè da linee, come a dire che i fotoni viaggiano in linea retta (ricordate solo però che questo non vale per un qualsivoglia fotone con una certa lunghezza d’onda).
Inoltre utilizzeremo, nei nostri ragionamenti, un altro ingrediente: il principio di Fermat.
Per capire tale principio supponiamo che il nostro raggio di luce vada dal punto A al punto B. Potremmo chiederci in che modo ci vada. Infatti esistono infiniti modi per andare dal punto A al punto B. Ma la luce ne sceglie uno solo. Possiamo pensare al nostro amico fotone che calcola il tempo che ci vuole a fare ogni percorso possibile; alla fine troverà alcune traiettorie le quali tra loro presentano una differenza di tempo impiegato estremamente piccola, praticamente nulla. Ed è lì che si muoverà il fotone.
In principio non è detto che questa traiettoria sia corrispondente a quella per cui il tempo di percorrenza è minimo. Può anche darsi che il tempo di percorrenza sia massimo. Se si ha una traiettoria per cui il tempo di percorrenza è il minimo possibile o il massimo possibile allora accade la seguente cosa: cambiando di poco la traiettoria (partendo da quella di minimo/massimo tempo) allora il tempo impiegato nel compiere la nuova traiettoria sarà pressoché identico al precedente.
Cercherò di essere più chiaro che posso con il prossimo esempio.
Immaginate di trovarvi con la vostra bici a pedalare su e giù per un percorso collinare. E immaginate di avere uno strumento in grado di calcolare la pendenza di ogni tratto di strada che fate.
Quando siete in salita le pendenze aumentano o possono essere costanti. Poi, un altro piccolo sforzo, ecco che arrivate in cima; in questo punto la strada spiana e la pendenza è zero. Ma come potete immaginare non si tratta di una cosa improvvisa e isolata: vi è un piccolo pezzettino in cui pian piano la pendenza comincia a diminuire fino ad arrivare a zero. Dopo ciò inizia la discesa e la strada riprende ad essere ripida. Però avrete potuto sperimentare un piccolo pezzo di strada in cui la pendenza era praticamente prossima a zero e addirittura zero nel punto in cima! La stessa cosa accade in discesa, quando in prossimità del punto più basso finalmente potete rilassare i vostri freni (a meno che non siate stati degli spericolati lungo la discesa!) perché la strada spiana per un breve tratto prima, magari, di ricominciare a salire di nuovo per un’altra collina.
Come avete capito da questo breve racconto, non solo voi ma anche i fotoni amano i punti di massimo e minimo. Voi riguardo la pendenza, i fotoni riguardo al tempo impiegato; ma il concetto è lo stesso.
Dunque per calcolare la traiettoria vera del raggio di luce partiamo da una traiettoria e calcoliamo il tempo di percorrenza. Poi lo facciamo per la traiettoria più vicina e così via per tutte. Quando troviamo quella traiettoria per cui il tempo di percorrenza non cambia significativamente quando calcoliamo tale tempo per le traiettorie vicine, allora abbiamo trovato quello che cercavamo.
Proprio come il ciclista pedala sulla strada alla ricerca della fine della salita o della discesa, lo stesso fanno i raggi di luce, ma con i tempi di percorrenza.
Ricordate, dunque: i fotoni non amano perdere tempo!
Ora vediamo una applicazione di tutto ciò.
Abbiamo un raggio di luce che deve andare da un punto ad un altro. Quale strada prende? Per quanto detto finora, o la più breve o la più lunga (di tempo). Siccome possiamo allungare il tempo di percorrenza a piacimento con qualunque deviazione immaginabile, ci rimane solo la strada di tempo minimo: una linea retta.

Fonte: http://www.csicop.org

Questo vale sia che il raggio di luce si muova nel vuoto o in una sostanza come ad esempio l’aria. Allora qual è la differenza? Che ci crediate o no, la differenza è la più ovvia: quando un fotone viaggia in una sostanza esso viene rallentato e viaggia ad una velocità minore di quella della luce nel vuoto.
Tutto questo è gestito da un indice chiamato indice di rifrazione. Esso vale uno quando la luce viaggia nel vuoto, mentre è più grande di uno quando la luce viaggia in un altra sostanza.
Più è grande l’indice più lento viaggia il fotone.
E da cosa dipende l’indice? Beh, dipende dal materiale di cui è fatto la sostanza, essenzialmente.
Ora chiediamoci cosa accade quando la luce passa da una sostanza con un certo indice ad un’altra con un indice più alto. Se il raggio di luce è diretto perpendicolarmente alla superficie non accade niente di nuovo, solo il raggio va più lento. Se invece abbiamo che il raggio di luce entra nella nuova superficie con una certa inclinazione allora accade la seguente cosa (vista anche dal punto di vista ondulatorio visto che un fotone è un’onda elettromagnetica):

Fonte: Wikipedia

 

Il raggio di luce cambia direzione!
Perché questo? La risposta è ancora: il principio di Fermat.
Quindi il nostro raggio non va da P a Q direttamente perché quello non è il percorso di minimo (o massimo) tempo di percorrenza. Senza entrare nei dettagli, il percorso fatto dal fotone in accordo con il principio di Fermat è quello mostrato nella figura qui sopra.
Un’ultima cosa ora prima di concludere: perché la luce rallenta quando viaggia in una sostanza?

La risposta è legata alla natura ondulatoria della luce. Infatti le sostanze sono fatte di atomi in cui vi sono gli elettroni, cioè particelle cariche che dunque interagiscono con le onde elettromagnetiche. L’onda originaria accelera gli elettroni che quindi a loro volta emettono onde elettromagnetiche con la stessa frequenza. Queste onde prodotte dagli elettroni però magari sono leggermente sfasate rispetto all’onda originaria; cioè le creste e i ventri delle onde non coincidono con l’onda originaria. Il risultato finale è che la somma di tutte queste onde crea un’onda con la stessa frequenza di quella originaria ma con una lunghezza d’onda minore. Ora, siccome frequenza moltiplicato lunghezza d’onda fornisce la velocità di un’onda, dato che la frequenza non cambia ma la lunghezza d’onda della nuova onda è minore di quella dell’onda originaria. L’effetto finale è un cambio di direzione, come potete osservare nella seguente animazione:

Fonte: Wikipedia

Dunque, in questo post abbiamo dunque visto le seguenti cose:

1) La luce non viaggia a caso ma segue traiettorie che soddisfano il principio di Fermat;
2) La luce viaggia alla velocità nella luce nel vuoto ma è più lenta quando viaggia in altri materiali.
Vi sono anche fenomeni collegati al valore dell’indice di rifrazione più piccoli di uno o addirittura negativi; magari ne parleremo un’altra volta.
Come al solito in questo blog, l’idea è di stuzzicare la vostra mente a notare fenomeni che magari capitano tutti i giorni sotto i vostri occhi; la natura aspetta solo di essere esplorata.

Campi magnetici ovunque

Molto spesso si sente parlare di campo magnetico di qualcosa. Ottimo! Vuol dire che si sta dicendo qualcosa che riguarda la fisica. Il punto però è capire innanzitutto cos’è un campo magnetico e magari in secondo luogo capire (o perlomeno provarci) quanto sono intensi i campi magnetici che ci circondano.
Partiamo dal principio.
Supponiamo di avere una particella. Tra le diverse quantità che caratterizzano una particella ce n’è una chiamata carica. Questa quantità può essere positiva o negativa ma anche nulla (in quel caso si dice che la particella è neutra). Supponiamo dunque che la nostra particella abbia una carica diversa da zero.
In questo caso possiamo dire che la nostra particella genera un campo elettrico; in parole poverissime vuol dire che due particelle cariche interagiscono tra loro a seconda dell’intensità di questo campo. L’effetto finale è che particelle con cariche dello stesso segno si respingono mentre particelle con cariche di segno opposto si attraggono. E va bene, sono sicuro che lo sapevate già. Era solo un ripasso.
Finora però non abbiamo considerato un particolare molto importante: ma la nostra particella è ferma o si muove? Ora attenzione: noi siamo gli osservatori. Immaginiamo di vedere, dal nostro punto di vista,  la nostra particella muoversi con una certa velocità costante; dunque noi possiamo sempre pensare di (perdonatemi, passatemi la prossima espressione!) metterci a cavallo della particella. In questo caso, viaggiando insieme alla particella, in pratica, da questo punto di vista, vediamo la particella ferma.
Se tutto ciò vi sembra una cosa banale, allora sentite qua.
Quello che accade è che una particella carica (sottolineo, carica!) genera un campo magnetico quando si muove. Dunque ora torniamo a ciò che dicevamo prima: quando vediamo la particella carica sfrecciare dovremmo misurare sia un campo elettrico (che c’è perché la particella è carica) sia un campo magnetico (perché la carica si muove). Ma se ci mettiamo a cavallo? La particella appare ferma: non misuriamo più alcun campo magnetico! O caspita.
Questo ci mostra che il campo elettrico e il campo magnetico sono intimamente collegati tra loro e per questo si parla di campo elettromagnetico. Questa storia del sistema di riferimento è perfettamente integrata all’interno della teoria della Relatività.
La cosa, comunque, è leggermente più complicata di così. Il campo elettromagnetico è descritto da un insieme di equazioni (che non scriverò!) chiamate equazioni di Maxwell (James Clerk Maxwell per essere precisi). Queste equazioni ci dicono come funziona il campo elettromagnetico. In particolare, sono quattro e ci dicono:
1) Il campo elettrico è generato dalle cariche elettriche che possono essere positive o negative;
2) Un campo magnetico che varia nel tempo genera un campo elettrico;
3) Un campo elettrico che varia nel tempo e/o una corrente elettrica (cioè cariche in moto) generano un campo magnetico;
4) Non esistono cariche magnetiche isolate.
L’ultima affermazione è molto curiosa. Infatti se prendete due calamite sapete tutti che vi è il polo nord è il polo sud magnetico. Quindi se avvicinate due poli nord le calamite si respingono mentre se avvicinate due poli differenti (nord-sud) le due calamite si avvicineranno.
Ma provate a spezzare una calamita. Pensate di dividere il polo nord dal polo sud? Invece no! Avrete due calamite ognuna con la coppia polo nord e polo sud. Come mai? Perché non esistono cariche magnetiche isolate, come dice il buon vecchio Maxwell.

James Clerk Maxwell (13 Giugno 1831 – 5 Novembre 1879)

Sì, va bene. Ma questi campi magnetici sono ovunque. Calamite per frigorifero, galassie, campo magnetico terrestre, la risonanza magnetica, etc etc. Sarebbe ora di capire quanto è forte un campo magnetico in ognuno di questi casi. Dunque vediamo: l’unità di misura del campo magnetico è il Gauss (se usate il sistema di misura c.g.s) o il Tesla (se usate il sistema internazionale). Da buon studente di astrofisica vi presenterò un po’ di numeri in Gauss; ma non ha importanza perché quello che bisogna capire è il rapporto che c’è tra le intensità dei campi magnetici in vari contesti.
Per i pignoli, comunque, un Tesla sono 10 mila Gauss.
Partiamo dal basso. Il nostro cervello è un insieme di cariche che sfrecciano per farci essere intelligenti. Il campo magnetico generato è qualcosa come un centimilionesimo di Gauss.
La nostra galassia ha un campo magnetico. Quanto è intenso? Cento volte più di quello del nostro cervello, quindi un milionesimo di Gauss.
Ma veniamo al pianeta Terra. Anche se non è perfettamente chiara l’origine di tale campo magnetico (ma vi sono comunque alcune teorie) in questo caso abbiamo una misura di 0.1 Gauss.
Le meravigliose (per alcuni) calamite da frigo danno una misura di 100 Gauss, mentre le famigerate e celeberrime macchie solari forniscono 1000 Gauss.
Un gradino più sopra troviamo l’apparecchio della risonanza magnetica con diecimila Gauss.
E, per finire, esageriamo.
Una stella di neutroni può arrivare ad avere un campo magnetico pazzesco. Parliamo di un numero come mille miliardi di Gauss! L’avevo detto che avremmo esagerato.
Ecco, questa piccola lista era solo per darvi un’idea di cosa vuol dire trovare un intenso campo magnetico. Come vedete dipende dal contesto e contrariamente a quello che magari si può pensare non vale la regola del “più grande quindi più forte”.
Le particelle che generano campi elettromagnetici comunicano, appunto, tramite onde elettromagnetiche o, se volete, fotoni. Come abbiamo visto già, le onde possono avere diverse frequenze. Dico questo per dirvi che quando si parla di inquinamento elettromagnetico non bisogna soltanto considerare l’intensità del campo ma anche la frequenza delle onde elettromagnetiche (qualche altra informazione la trovate qui).
Insomma i campi elettromagnetici sono ovunque.
Se vedete una particella carica in movimento non sta facendo jogging: sta generando un campo magnetico.

Un romantico momento (angolare)

La vignetta che vi sto per proporre (tratta dal sito http://xkcd.com/) potrebbe, a prima vista, apparire molto strana e senza senso. Spero che alla fine di questo post sia tutto più chiaro. Comunque ecco la vignetta che fa iniziare il nostro racconto:

Iniziamo dalle traduzioni. Il ragazzo sul letto chiede alla propria ragazza: “Che stai facendo?”. Lei risponde: “Sto ruotando in senso anti-orario. Ogni volta che compio un giro rubo momento angolare al pianeta in modo tale da rallentare la sua rotazione giusto un pochino da permettere di allungare la notte, respingendo l’alba, per darmi ancora un attimo in più qui con te”.

Che cosa romantica!

Ovviamente bisogna spiegarla sennò non si capisce niente e la ragazza viene data per pazza!
Ci proviamo in questo post e in questo blog, senza usare formule matematiche che, in questo caso sarebbero molto utili; ma d’altra parte è proprio per questo (spero!) che dedicate qualche momento della vostra giornata alla lettura di Quantizzando.
Come sicuramente avrete già capito il punto centrale è la grandezza chiamata momento angolare.
Cos’è? A cosa serve? Possiamo pensare ad un qualcosa analogo dell’energia (nel senso che specificheremo tra poco) con la differenza che il momento angolare non rappresenta un numero, bensì una terna di numeri, ognuno per ogni direzione spaziale (nel caso di un mondo tridimensionale ovviamente); in parole povere il momento angolare è una freccia in una certa direzione che punta in un certo verso e con una qualche lunghezza. Ebbene, anche qui come l’energia, se il sistema è isolato abbiamo che il momento angolare (dunque questa freccia) si conserva, ovvero non cambia direzione, verso e lunghezza al cambiare delle condizioni del sistema (isolato).
Il momento angolare è una quantità legata all’isotropia dello spazio; vuol dire che una rotazione delle coordinate del sistema non modifica la dinamica dello stesso. Cioè abbiamo un sistema che è uguale in tutte le direzioni. Allora abbiamo che il momento angolare che si conserva.
Com’è possibile? Vediamo cosa accade se il sistema non è isolato. In questo caso vi è una qualche forza esterna agente sul sistema. Dunque le particelle del sistema risentono l’azione di questa forza e, siccome per la prima legge di Newton forza vuol dire accelerazione lungo la direzione della forza, ecco che spunta fuori una direzione privilegiata che spezza la caratteristica di isotropia.
Possiamo pensare alla forza esterna come ad una specie di guastafeste che rovina l’atmosfera di pace del sistema isolato.
Dunque cosa ci dice il momento angolare? Per calcolarlo occorre sapere come sono distribuite spazialmente le particelle di un sistema e inoltre bisogna conoscere la loro velocità. Quindi possiamo pensare al momento angolare come ad una specie di indicatore dell’importanza delle particelle nella dinamica del sistema nel suo complesso. Tra poco faremo qualche esempio.
Prima però una cosa importante. Abbiamo detto che il momento angolare dipende dalla massa, posizione e velocità delle particelle. Poi abbiamo detto che in un sistema isolato il momento angolare rimane costante quando cambia la situazione interna del sistema senza l’intervento di forze esterne. Ora, supponendo che le massa delle particelle non cambi mai allora vuol dire che, per mantenere costante il momento angolare, vi sarà una qualche modifica dei valori di raggio e velocità delle particelle quando cambiano le condizioni interne.
Ora ecco l’esempio.
Poiché abbiamo detto che la conservazione del momento angolare è legata all’invarianza del sistema sotto l’effetto di una rotazione, allora considereremo il caso di un oggetto che ruota.
Guardiamo dunque alla Luna che cade attorno alla Terra. Come sappiamo, cadendo la Luna alla fine dei conti ruota attorno al nostro pianeta. Una volta misurato massa, posizione e velocità della Luna ecco che abbiamo il nostro momento angolare.
Ora, poiché l’unica forza in gioco è la gravità che, in questo caso, è una forza interna al sistema, allora se immaginiamo di cambiare le condizioni interne si deve comunque avere che il momento angolare si conserva.
Immaginiamo dunque di avvicinare la Luna alla Terra. Come abbiamo detto, dal punto di vista del momento angolare non cambia nulla, poiché esso è costante. Tuttavia, se la Luna si trova ad una distanza minore dalla Terra allora la forza di gravità sarà più forte di prima e dunque la Luna dovrà girare più veloce per evitare di cadere sulla Terra!
Questo è un risultato generale. Se il momento angolare si conserva e diminuisce il raggio allora deve aumentare la velocità. E viceversa.
A questo punto potete capire le dinamiche di una pattinatrice sul ghiaccio. Quando chiude le braccia diminuisce i raggi delle particelle del corpo e quindi aumenta la velocità. E, di nuovo, viceversa.
Questa storia del momento angolare che si conserva, dei raggi e delle velocità è qualcosa di assolutamente fantastico! E può anche essere complicata maggiormente.
Supponiamo che voi siete seduti su di una sedia con delle ruote e in mano avete una ruota di bicicletta. Immaginate di far ruotare la ruota orizzontalmente (parallela al terreno), per esempio in senso orario. Ad un certo punto vi siete stancati e decidete di capovolgere la ruota in modo da vederla ruotare in senso antiorario. Cosa accade al momento angolare? Se cambiamo il senso di rotazione allora vuol dire che le velocità delle particelle della ruota hanno cambiato verso. Di conseguenza anche il momento angolare dovuto alla rotazione della ruota ha cambiato verso. Un attimo! Ma il sistema è isolato, quindi il momento angolare si deve conservare!
Infatti quello che accade è che la vostra sedia su cui comodamente riposate inizia a ruotare nel senso opposto a quello della ruota di bici, quel tanto che serve per controbilanciare il vostro cambio di rotazione della ruota e conservare il momento angolare. Così la freccia dovuta alla rotazione della ruota si somma a quella dovuta alla rotazione della sedia e il risultato finale è di nuovo la freccia momento angolare iniziale!

Ruota, sedia e momento angolare: illustrazione delle frecce (Fonte: http://img.sparknotes.com).

Dunque il capovolgere la ruota ha permesso la rotazione della sedia nel senso opposto a quello di rotazione della ruota di bici: sensazionale!
Ora veniamo alla nostra vignetta. La Terra ruota su stessa, lo sappiamo. Poi ci siamo noi che possiamo definirci particelle della Terra. Supponendo tutte le possibili ottimali condizioni e combinazioni di latitudine e altro, l’idea della vignetta è molto semplice da capire dopo tutto quello che abbiamo detto. Se la Terra ruota per esempio in senso orario allora ruotando una parte del sistema (in questo caso la ragazza) in senso antiorario, a causa della conservazione del momento angolare (essendo la Terra che ruota su stessa un sistema isolato), dovrebbe causare un rallentamento della rotazione terrestre perfettamente compensato dalla rotazione della ragazza.
Questo non accade, ovviamente, in primo luogo perché si tratta solo di una persona che lo fa. Inoltre probabilmente non ne varrà mai la pena, anche solo per il mal di testa che il roteare provocherebbe alla ragazza!
Però la bellezza di questa vignetta è la sua capacità di rendere romantica anche la conservazione del momento angolare e per questo motivo bisognava parlarne.
Ricapitoliamo: quando un sistema è isolato non è detto che dentro tale sistema non possano avvenire fenomeni fisici. Ma, proprio perché il sistema è isolato, tali fenomeni non possono avvenire arbitrariamente ma devono rispettare alcuni parametri dettati dalle caratteristiche del sistema stesso. O meglio, il loro nome è “integrali primi del moto”. Abbiamo visto già l’energia (qui) e in questo post il momento angolare. Non sono strumenti incomprensibili o magici; si tratta di quantità in grado di spiegarci cosa un sistema (isolato) può o non può fare in accordo con le leggi della fisica.