Punti Lagrangiani

Quasi ogni volta che si parla si missioni spaziali e, in particolare, di satelliti, viene fuori la magica coppia di parole “punto lagrangiano”.
Però non è che si brilli in chiarezza quando si parla di punti lagrangiani. Cosa sono? Perché ci sono? Soprattutto, perché spuntano come funghi negli articoli in cui si parla di satelliti che sono in orbita.
E allora, ci voleva un post, insomma, per cercare di fare chiarezza così la prossima volta che leggeremo che un satellite si trova in L1, L2, L3, L4, L5 (cioè in uno dei punti lagrangiani) sapremo bene di cosa si tratta.

Dunque, tutto inizia con lo studio del problema dei tre corpi. Cioè lo studio di come tre corpi si muovono sotto l’azione della reciproca gravità.
Per parlare dei punti lagrangiani, però, dobbiamo fare un’ulteriore ipotesi. Dobbiamo assumere che uno dei tre corpi abbia una massa molto ma molto minore della massa degli altri due.

Inoltre, come sempre quando si cerca di risolvere un problema in fisica, dobbiamo scegliere un sistema di riferimento; ovvero, dobbiamo scegliere da quale punto di vista osservare la situazione. La scelta, in questo caso, cade su un sistema di riferimento tale per cui i due corpi più grandi stanno fermi. Lo so, ci vuole un esempio.


Ecco, per esempio: prendiamo come tre corpi il Sole, la Terra e un satellite. Quest’ultimo è, appunto, il corpo con massa molto piccola di cui parlavamo prima.
A questo punto ci mettiamo nel sistema di riferimento in cui Terra e Sole sono fermi. Esiste tale sistema? Certamente. Basta usare un sistema di riferimento con origine nel centro di massa Terra-Sole e che, inoltre, ruota con la stessa velocità del sistema Terra-Sole.
Ricordo cos’è il centro di massa: esso esiste in tutti i sistemi fisici dove ci sono corpi dotati di massa è si tratta di una specie di punto medio del sistema che descrive come la massa è distribuita nelle varie componenti del sistema fisico in questione. Nel caso del sistema Terra-Sole il centro di massa é all’interno del Sole ma non é il centro del Sole.

Risultato? Abbiamo un sistema non-inerziale, cioè un sistema accelerato. L’accelerazione in questione é dovuta al moto rotatorio del sistema Terra-Sole: siccome ci siamo messi in un sistema di riferimento rotante, un osservatore in questo sistema non vede alcuna rotazione ma ne vede gli effetti attribuendo ciò che accade alle cosiddette forze apparenti. Per esempio, quando siete in macchina e fate una curva, vedete le cose magari poggiate sul cruscotto che si muovono verso la parte esterna della curva. Nessuno muove i vostri oggetti e la descrizione di tale fenomeno viene attribuita ad una forza chiamata centrifuga che, appunto, ha senso definire solo all’interno del sistema di riferimento rotante.

Infatti una persona sul ciglio della strada vedrà la vostra macchina curvare e gli oggetti muoversi invece seguendo un moto rettilineo; ciò è dovuto al fatto che nessuna forza agisce sugli oggetti e, il principio di inerzia ci assicura che un corpo fermo o a velocità costante continua a stare fermo o a muoversi a velocità costante finché una forza non interviene. Quindi, giusto per dire che le due descrizioni, la vostra sull’auto e quella della persona sulla strada hanno perfettamente senso.

Bene, dopo questo breve ripasso sui sistemi di riferimento, possiamo andare avanti. Quando, tramite un paio di equazioni, andiamo a scrivere nero su bianco la forza che agisce sul terzo corpo (in questo caso il satellite) abbiamo oltre alle attrazioni gravitazionali del Sole e della Terra, anche altri termini dovuti proprio al fatto che abbiamo scelto un sistema non-inerziale.

Certo, direte voi, forse questo potevo pure evitare di raccontarvelo: ma invece secondo me andava detto perché rende l’idea di come in fisica bisogna avere molta cura dell’impostazione del problema. Infatti adesso possiamo chiederci: ci sono dei punti dello spazio in cui il satellite si trova in equilibrio in questo sistema di riferimento? Cioè, ci sono dei punti in cui (sempre in questo sistema di riferimento) non agiscono forze sul satellite e quindi esso resta bello impalato in quei punti?

La risposta sono proprio i punti lagrangiani. Ve ne sono cinque e sono indicati nella prossima immagine:

I 5 punti lagrangiani. La didascalia ci ricorda che, giustamente,
i 5 punti non sono mostrati in scala.

Quindi, detto in parole povere, i punti lagrangiani sono quei punti in cui possiamo mettere un satellite in maniera tale che poi esso resta lì in equilibrio senza essere tirato né verso la Terra né verso il Sole.

Bene, siamo quasi alla fine. Dobbiamo, però, prima spendere qualche parola sulla stabilità. Innanzitutto spieghiamo. Equilibrio stabile vuol dire che se diamo un colpetto ad un corpo in tale posizione esso prontamente torna nella posizione di equilibrio.
Invece, equilibrio instabile vuol dire che se diamo un colpetto il corpo si allontana dalla posizione di equilibrio. Ecco, semplificando al massimo.

Ora, i punti L1 e L2 sono di equilibrio instabile. Tuttavia, questi sono i punti usati da alcuni satelliti che inviamo nello spazio. Per esempio, il satellite SOHO che studia il Sole é parcheggiato nel punto L1. Mentre satelliti come Planck (che studia la radiazione cosmica di fondo a microonde), in futuro, il Telescopio Spaziale James Webb hanno preso/prenderanno ufficio in L2. I satelliti posizionati in L1 e L2 sono soggetti a piccoli perturbazioni che crescono nel giro di poche settimane mandando il satellite fuori parcheggio. Per questo si rendono necessarie correzioni ogni tanto alle orbite di tali satelliti.
Qualche altro dettaglio, visto che ci siamo.
Il punto L1 è a 1.5 milioni di km dalla Terra e, per esempio, il satellite SOHO ha una continua visuale del Sole; infatti, in precedenza, i satelliti per studiare il Sole orbitavano attorno alla Terra e quindi ogni tanto finivano nell’ombra della Terra e non potevano studiare il Sole con continuità.
D’altro canto, per raggiungere il punto L2 un satellite prima fa qualche giro attorno alla Luna per darsi la spinta e poi, da quel momento, ci vogliono circa 100 giorni per arrivare al secondo punto lagrangiano. Inoltre i satelliti che vanno a posizionarsi in L2 non si mettono esattamente in quel punto ma si muovono attorno ad L2 per evitare di stare nell’ombra della Terra e quindi compromettere il funzionamento di eventuali pannelli solari (vedi figura qui sotto):

I satelliti in L2 fanno un’orbita ellittica per evitare l’ombra della Terra.

Invece i punti L4 e L5 sono di equilibrio stabile. Questi punti sono molto famosi perché, per esempio nel sistema Giove-Sole, in L4 e L5 sono state trovate manciate di asteroidi chiamati Troiani.

Sistema Giove-Sole e gli asteroidi Troiani in L4 e L5.

Infine, una menzione speciale per il punto L3. Infatti, come potete osservare nella prima immagine di questo post (quella del sistema Terra-Sole), il punto L3 si trova proprio dietro al Sole. Infatti spesso si è parlato di un (inesistente, eh) piccolo “Pianeta X” nascosto dietro al Sole. Oppure, lavorando ancor più di fantascienza, L3 sarebbe perfetto per ipotetici extra-terrestri in agguato prima di sferrare l’attacco finale al nostro pianeta…vabbé!
Il problema é che L3 é un punto di equilibrio instabile. Quindi fine dei sogni…o degli incubi!

Insomma, d’ora in avanti, quando sentirete parlare di punti lagrangiani nessuno potrà più cogliervi di sorpresa. Salvate questo post tra i preferiti e L1, L2, Asteroidi Troiani e satelliti vari non avranno più segreti per voi.

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