Un romantico momento (angolare)

La vignetta che vi sto per proporre (tratta dal sito http://xkcd.com/) potrebbe, a prima vista, apparire molto strana e senza senso. Spero che alla fine di questo post sia tutto più chiaro. Comunque ecco la vignetta che fa iniziare il nostro racconto:

Iniziamo dalle traduzioni. Il ragazzo sul letto chiede alla propria ragazza: “Che stai facendo?”. Lei risponde: “Sto ruotando in senso anti-orario. Ogni volta che compio un giro rubo momento angolare al pianeta in modo tale da rallentare la sua rotazione giusto un pochino da permettere di allungare la notte, respingendo l’alba, per darmi ancora un attimo in più qui con te”.

Che cosa romantica!

Ovviamente bisogna spiegarla sennò non si capisce niente e la ragazza viene data per pazza!
Ci proviamo in questo post e in questo blog, senza usare formule matematiche che, in questo caso sarebbero molto utili; ma d’altra parte è proprio per questo (spero!) che dedicate qualche momento della vostra giornata alla lettura di Quantizzando.
Come sicuramente avrete già capito il punto centrale è la grandezza chiamata momento angolare.
Cos’è? A cosa serve? Possiamo pensare ad un qualcosa analogo dell’energia (nel senso che specificheremo tra poco) con la differenza che il momento angolare non rappresenta un numero, bensì una terna di numeri, ognuno per ogni direzione spaziale (nel caso di un mondo tridimensionale ovviamente); in parole povere il momento angolare è una freccia in una certa direzione che punta in un certo verso e con una qualche lunghezza. Ebbene, anche qui come l’energia, se il sistema è isolato abbiamo che il momento angolare (dunque questa freccia) si conserva, ovvero non cambia direzione, verso e lunghezza al cambiare delle condizioni del sistema (isolato).
Il momento angolare è una quantità legata all’isotropia dello spazio; vuol dire che una rotazione delle coordinate del sistema non modifica la dinamica dello stesso. Cioè abbiamo un sistema che è uguale in tutte le direzioni. Allora abbiamo che il momento angolare che si conserva.
Com’è possibile? Vediamo cosa accade se il sistema non è isolato. In questo caso vi è una qualche forza esterna agente sul sistema. Dunque le particelle del sistema risentono l’azione di questa forza e, siccome per la prima legge di Newton forza vuol dire accelerazione lungo la direzione della forza, ecco che spunta fuori una direzione privilegiata che spezza la caratteristica di isotropia.
Possiamo pensare alla forza esterna come ad una specie di guastafeste che rovina l’atmosfera di pace del sistema isolato.
Dunque cosa ci dice il momento angolare? Per calcolarlo occorre sapere come sono distribuite spazialmente le particelle di un sistema e inoltre bisogna conoscere la loro velocità. Quindi possiamo pensare al momento angolare come ad una specie di indicatore dell’importanza delle particelle nella dinamica del sistema nel suo complesso. Tra poco faremo qualche esempio.
Prima però una cosa importante. Abbiamo detto che il momento angolare dipende dalla massa, posizione e velocità delle particelle. Poi abbiamo detto che in un sistema isolato il momento angolare rimane costante quando cambia la situazione interna del sistema senza l’intervento di forze esterne. Ora, supponendo che le massa delle particelle non cambi mai allora vuol dire che, per mantenere costante il momento angolare, vi sarà una qualche modifica dei valori di raggio e velocità delle particelle quando cambiano le condizioni interne.
Ora ecco l’esempio.
Poiché abbiamo detto che la conservazione del momento angolare è legata all’invarianza del sistema sotto l’effetto di una rotazione, allora considereremo il caso di un oggetto che ruota.
Guardiamo dunque alla Luna che cade attorno alla Terra. Come sappiamo, cadendo la Luna alla fine dei conti ruota attorno al nostro pianeta. Una volta misurato massa, posizione e velocità della Luna ecco che abbiamo il nostro momento angolare.
Ora, poiché l’unica forza in gioco è la gravità che, in questo caso, è una forza interna al sistema, allora se immaginiamo di cambiare le condizioni interne si deve comunque avere che il momento angolare si conserva.
Immaginiamo dunque di avvicinare la Luna alla Terra. Come abbiamo detto, dal punto di vista del momento angolare non cambia nulla, poiché esso è costante. Tuttavia, se la Luna si trova ad una distanza minore dalla Terra allora la forza di gravità sarà più forte di prima e dunque la Luna dovrà girare più veloce per evitare di cadere sulla Terra!
Questo è un risultato generale. Se il momento angolare si conserva e diminuisce il raggio allora deve aumentare la velocità. E viceversa.
A questo punto potete capire le dinamiche di una pattinatrice sul ghiaccio. Quando chiude le braccia diminuisce i raggi delle particelle del corpo e quindi aumenta la velocità. E, di nuovo, viceversa.
Questa storia del momento angolare che si conserva, dei raggi e delle velocità è qualcosa di assolutamente fantastico! E può anche essere complicata maggiormente.
Supponiamo che voi siete seduti su di una sedia con delle ruote e in mano avete una ruota di bicicletta. Immaginate di far ruotare la ruota orizzontalmente (parallela al terreno), per esempio in senso orario. Ad un certo punto vi siete stancati e decidete di capovolgere la ruota in modo da vederla ruotare in senso antiorario. Cosa accade al momento angolare? Se cambiamo il senso di rotazione allora vuol dire che le velocità delle particelle della ruota hanno cambiato verso. Di conseguenza anche il momento angolare dovuto alla rotazione della ruota ha cambiato verso. Un attimo! Ma il sistema è isolato, quindi il momento angolare si deve conservare!
Infatti quello che accade è che la vostra sedia su cui comodamente riposate inizia a ruotare nel senso opposto a quello della ruota di bici, quel tanto che serve per controbilanciare il vostro cambio di rotazione della ruota e conservare il momento angolare. Così la freccia dovuta alla rotazione della ruota si somma a quella dovuta alla rotazione della sedia e il risultato finale è di nuovo la freccia momento angolare iniziale!

Ruota, sedia e momento angolare: illustrazione delle frecce (Fonte: http://img.sparknotes.com).

Dunque il capovolgere la ruota ha permesso la rotazione della sedia nel senso opposto a quello di rotazione della ruota di bici: sensazionale!
Ora veniamo alla nostra vignetta. La Terra ruota su stessa, lo sappiamo. Poi ci siamo noi che possiamo definirci particelle della Terra. Supponendo tutte le possibili ottimali condizioni e combinazioni di latitudine e altro, l’idea della vignetta è molto semplice da capire dopo tutto quello che abbiamo detto. Se la Terra ruota per esempio in senso orario allora ruotando una parte del sistema (in questo caso la ragazza) in senso antiorario, a causa della conservazione del momento angolare (essendo la Terra che ruota su stessa un sistema isolato), dovrebbe causare un rallentamento della rotazione terrestre perfettamente compensato dalla rotazione della ragazza.
Questo non accade, ovviamente, in primo luogo perché si tratta solo di una persona che lo fa. Inoltre probabilmente non ne varrà mai la pena, anche solo per il mal di testa che il roteare provocherebbe alla ragazza!
Però la bellezza di questa vignetta è la sua capacità di rendere romantica anche la conservazione del momento angolare e per questo motivo bisognava parlarne.
Ricapitoliamo: quando un sistema è isolato non è detto che dentro tale sistema non possano avvenire fenomeni fisici. Ma, proprio perché il sistema è isolato, tali fenomeni non possono avvenire arbitrariamente ma devono rispettare alcuni parametri dettati dalle caratteristiche del sistema stesso. O meglio, il loro nome è “integrali primi del moto”. Abbiamo visto già l’energia (qui) e in questo post il momento angolare. Non sono strumenti incomprensibili o magici; si tratta di quantità in grado di spiegarci cosa un sistema (isolato) può o non può fare in accordo con le leggi della fisica.

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